1 Übungsaufgabe Durchschnittlicher Effekt bei Level-2-Treatment

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Übungsaufgabe Durchschnittlicher Effekt bei Level-2-Treatment

Im Folgenden werden verschiedene Mehrebenenmodelle angegeben. Level 1 bezieht sich auf Schüler, Level 2 auf Schulen. Es sei Y:\Omega\rightarrow\mathbb{R} die Outcomevariable, X:\Omega\rightarrow\left\{ 0,1\right\} die Level-2-Treatmentvariable, Z:\Omega\rightarrow\left\{ 0,1\right\} eine Level-1-Kovariate, S:\Omega\rightarrow\left\{ 0,1\right\} eine Level-2-Kovariate, C:\Omega\rightarrow\left\{ 1,2,\ldots,N_{\text{Cluster}}\right\} die Clustervariable. Des weiteren ist Z^{\text{w}}:=Z-Z^{\text{b}}=Z-E(Z\left|C\right.). In den Modellen werden zwei Level-2-Residualvariablen verwendet. Sie sind wie folgt definiert: U_{0}:=\tilde{\alpha}_{0}(Z,S,C)-E(\tilde{\alpha}_{0}(Z,S,C)\left|Z,S,C\right.) und U_{1}:=\tilde{\alpha}_{1}(Z,S,C)-E(\tilde{\alpha}_{1}(Z,S,C)\left|Z,S,C\right.).

1. Geben Sie für dieses Modell die g_{0}- und g_{1}-Funktion an. Vereinfachen Sie den Erwartungswert der g_{1}-Funktion so weit wie möglich (nutzen Sie dafür die Rechenregeln).


Fehler beim Parsen (Lexikalischer Fehler): \begin{array}{rrll} \text{Level 1: \ } & E(Y\left|\, X,Z,S,C\right.) & = & \tilde{\alpha}_{0}(X,S,C)+\tilde{\alpha}_{1}(X,S,C)\cdot Z\vspace{3pt}\\ \text{Level 2: \ } & \tilde{\alpha}_{0}(X,S,C) & = & \gamma_{00}+\gamma_{01}S+\gamma_{02}X+U_{0}\\ & \tilde{\alpha}_{1}(X,S,C) & = & \gamma_{10}+\gamma_{11}S+\gamma_{12}X+U_{1}\end{array}


2. Geben Sie für dieses Modell die g_{0}- und g_{1}-Funktion an. Vereinfachen Sie den Erwartungswert der g_{1}-Funktion so weit wie möglich (nutzen Sie dafür die Rechenregeln).


Fehler beim Parsen (Lexikalischer Fehler): \begin{array}{rrll} \text{Level 1: \ } & E(Y\left|\, X,Z,S,C\right.) & = & \tilde{\alpha}_{0}(X,Z,S,C)+\tilde{\alpha}_{1}(X,Z,S,C)\cdot Z^{\text{w}}\vspace{3pt}\\ \text{Level 2: \ } & \tilde{\alpha}_{0}(X,Z,S,C) & = & \gamma_{00}+\gamma_{01}S+\gamma_{02}X+\gamma_{03}Z^{\text{b}}+U_{0}\\ & \tilde{\alpha}_{1}(X,Z,S,C) & = & \gamma_{10}+\gamma_{11}S+\gamma_{12}X+\gamma_{13}Z^{\text{b}}+U_{1}\end{array}


3. Geben Sie für dieses Modell die g_{0}- und g_{1}-Funktion an. Vereinfachen Sie den Erwartungswert der g_{1}-Funktion so weit wie möglich (nutzen Sie dafür die Rechenregeln).


Fehler beim Parsen (Lexikalischer Fehler): \begin{array}{rrll} \text{Level 1: \ } & E(Y\left|\, X,Z,S,C\right.) & = & \tilde{\alpha}_{0}(X,Z,S,C)+\tilde{\alpha}_{1}(X,Z,S,C)\cdot Z^{\text{w}}\vspace{3pt}\\ \text{Level 2: \ } & \tilde{\alpha}_{0}(X,Z,S,C) & = & \gamma_{00}+\gamma_{01}S+\gamma_{02}X+\gamma_{03}Z^{\text{b}}+\gamma_{04}XZ^{\text{b}}+U_{0}\\ & \tilde{\alpha}_{1}(X,Z,S,C) & = & \gamma_{10}+\gamma_{11}S+\gamma_{12}X+\gamma_{13}Z^{\text{b}}+\gamma_{14}XZ^{\text{b}}+U_{1}\end{array}


4. In welchem Modell kann sich der Treatmenteffekt von Schüler zu Schüler unterscheiden und in welchem von Schule zu Schule? Begründen Sie.(Hinweis: Es geht hier um bedingte Treatmenteffekte.)


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